境界層方程式

 

ナビエ・ストークスの式は流体の粘性を考慮したため解くのが困難な式となった。しかし多くの流体の問題では流体の粘性が支配的となるのは固体壁と流体の近傍のみで、そこから離れた流体(主流 bulk flow)では非粘性流体と考えてよい場合が多い。このように物体の近傍だけ粘性流体の基礎式を適用し、主流部分は非粘性流体として別々に取り扱うことが実用的である。1904年、プラントル Plandtl によってこの境界層理論が提起された。以降、粘性流体力学はこの境界層理論をもとにして著しく発展し、その成果が航空分野、気象分野など実用上の諸問題の解決に多大の貢献をしている。

 

 オーダー比較による境界層方程式の導出

 

流れ中に流れと平行に位置する平板を考える。平板面近傍に厚さδの境界層(boundary layer)を考え、流体の速度はこの部分でのみ変化するとする。2次元で体積力を無視した条件での流れの基礎式(ナビエ・ストークスの式と連続の式)は次式である。

方向:

方向:

連続の式:

この式の各項について境界層についてのオーダー比較(order-of magnitude estimation)をおこなう。図の状況下での最大長さ及び最大速度Uが1程度であるとする。すると任意のx方向速度uは0と1の範囲にある。このことをオーダーが1であると言い、
u =O (1)
のように表わす。距離
xO (1)であるから、uに関するx方向の微分、二階微分も1のオーダーである。

距離yの最大値は非常に薄い境界層厚みδである。よってΔy =O (δ)。∂u /x =O (1)と連続の式より、∂v/y =O (1)である。これより、Δv= O (δ)。よってuy 方向微分は、

同様の考察により、である。

時間の最大変化も1のオーダーにあるとして、
また、
(μ/ρ)は粘性項が他の項と同じオーダーでなくてはならないことからO (δ2)。同様に圧力項も他の項と同じオーダーでなくてはならないので、

以上のことを最初の基礎式についてあてはめると、y 方向の運動方程式はO (δ)であり、x 方向に比べて無視できる。さらに、 より、



を得る。これが2次元非圧縮性流れの境界層方程式(Prandtl's boundary-layer equation)である。この式の境界条件は、

y = 0 u = 0, v = 0y =δでu= Uおよび(∂u/y ) = 0(境界層と主流の速度が連続していること)

である。

 

 Blasiusの相似変形と境界層方程式の解

 

このPlandtlの境界層方程式は1908年、Blasiusにより相似変形により常微分方程式に変形されて、解が得られた。

定常な境界層を考える。平板上の各x位置におけるy方向の速度分布は変化しているが、この速度分布の形が相似形:

であると仮定する。境界層の厚みは平板端からの距離xと流体の動粘度νの積の平方根に比例し、主流速度の平方根に反比例するので、この相似関係は、

と書ける。すなわちx ,y の代わりに相似変数 を導入する。さらに連続の式を自動的に満足する関数(流れ関数)ψ()を導入して次式で無次元化する。

すると、元の境界層方程式の各項は以下のようになる。

以上により境界層方程式が次のように常微分化される。

   

(境界条件: η=0 : f =f ' = 0 および η=∞ : f ' = 1)
Blasius自身は級数解法によりこの解を得た。その他これを解くために各種の方法が提案されている。その中で1938年のHowarthの解が厳密なものである( 下表)。

η

f ’ =u/U

0

0

0.4

0.13277

0.8

0.26471

1.2

0.39378

1.6

0.51676

2.0

0.62977

2.4

0.72899

2.8

0.81152

3.2

0.87609

3.6

0.92333

4.0

0.95552

5.0

0.99155

6.0

0.99898

7.0

0.99992

8.0

1.00000

 

 君にも解ける境界層方程式

 

上式は、0=f1=f ' ,2= f ' ' と置くことで連立常微分方程式:
0' = 1
1' = 2
2' = -(1/2)02
となる。各式をη
=0から同時に数値積分すれば解は求められる。しかしη=0の位置でのy2=f ' 'の値が未定である。その代わりにη=∞でのf ' の値が境界条件として与えられている。このような問題を「境界値問題」と言う。一方,数値積分は積分計算開始点の値がすべて既知の問題すなわち「初期値問題」しか解けない。どうするか?それは簡単で,η=0での値を仮定してとりあえず積分を実行し,η=∞での条件に合うまでこの方法を繰り返すのである。これをShooting-Method(数撃ちゃ当る法)と言う。実際にはη=∞はη=8にとり,f ' ' (0)(=2(0))0.3から0.4程度にとって積分して, f(10)=1になるまで試行する。

「常微分方程式解法シート」(Runge-Kutta-Fehlberg法版)で解く例を示す。厳密解のf'' (0) = 0.33206 になっている。<fluid4.xls>

 

 

 境界層流れの抵抗係数

 

境界層に接する固体壁におよぼされるせん断力は、

であらわせる。境界層方程式の解よりf’’(0)=0.332であるから、

局所の摩擦係数は、で定義される。よって、
 (

これを長さLの平板にわたって平均すると次式となる。

 

 濃度境界層方程式

 

2成分系の物質移動において、成分1の質量分率ωについて濃度の境界層方程式を書くと、

 境界条件 y=0: ω=ωs, y=: ω=ω

である。D は拡散係数。無次元濃度をと定義すると、上式が

 境界条件 η=0: θ=0,η=: θ=1

となる。(Sc=μ/(ρD))先のHowarthf に関する解 を用いてこれを積分することで、境界層内の濃度分布が求められる。濃度分布は速度分布と相似形になる。Pohlhausenはこの結果から固体面上の濃度分勾配が、

のように近似できることを示した。よって固体面からの局所の物質移動速度が

となる。なお、平板の全長Lについての平均値は次式。


演習レポート 5(方眼紙で提出)

【演習1】境界層の速度分布を描け

【演習2】風洞に長さ1m、幅L[m]の翼が置かれている。これに平行に100m/sの風をあてたとき、翼全体にかかる力を推定する。

【ヒント】空気の密度ρ=1.3kg/m3, 粘度μ=17×10-6PasReLからcfを求める。平均摩擦抵抗は

なので、翼全体にかかる力は、 F [N]=(翼両面の面積)×(τs) で推算される。

【演習3】床にa [mm]の厚さで水がこぼれている。1m2あたりの水の量[kg]を求める。水面上の空気の流れをU=1m/sとした場合、水の蒸発速度を計算する。この水は何時間で乾くか。ただし、空気中の水の濃度は板上でωs=0.03,空気中でω=0,Sc=1, 拡散係数D=2.6×10-5m2/sとする。

【ヒント】x=0.5mとしてを用いて、1m21sあたりの水の蒸発量:

を計算する。