微分方程式によるプロセスの動特性と制御  

化学工学では制御のモデルとしてタンクの液面レベル系がよく用いられる。底面積A のタンクに液面レベルh で液が入っており,これに流入流量q で液が流入し,タンク底からバルブを通して流出している。タンク底からの流出流量は液面レベルh とバルブの抵抗R に依存し,(流出流量) = h /R である。(注:が普通であるが,ここでは簡単のためh に比例するとした。) この1槽モデルを直列に接続したのが2槽モデルである。

制御では指定した値に設定したい変数すなわち被制御変数と、これを変化・操作するため変数すなわち操作変数がある。液面レベルのモデルでは被制御変数が液面レベルh (t )、操作変数が流入流量 q (t ) である。これらは 時間 t に依存する変数であり,以下太字(h, q)であらわすこととする。

物質収支((タンク内液量変化)=(流入流量)―(流出流量))から1槽モデルにおけるhq の関係は次式である。

この形式のモデルを1次遅れ系という。

2槽モデルでは被制御変数が第2槽の液面レベルh ,操作変数が第1槽への流入流量q であり,代1槽の液面レベルh1 も変数である。第1槽からの流出流量 が第2槽の流入流量になることを考慮して,次の連立式となる。(添え字1は1槽,2は2槽をあらわす。)

この連立式でh1 を消去するとh に関する2階の微分方程式になるが,この形式のモデルを2次遅れ系という。

通常はこれらの微分方程式に対してラプラス変換を適用し,解析的に解くことで系の動特性や制御が説明される。ここではExcel上で微分方程式を扱う方法を紹介してきたので,これを活用して,モデルの微分方程式を直接数値的に解いてみる。この方法で動特性・制御の様子を実時間領域で示すことができる。理論的厳密性を欠く点もあるが,制御のひとつのみかたという意味で紹介する。

 なお,以下の例題では槽の底面積,バルブの抵抗は全てとする。

1.プロセスの動特性

制御のためには先ずプロセスの入力(操作変数)の変化に対する出力(被制御変数)の変化すなわち応答を知る必要がある。これをプロセスの動特性という。ここではステップ応答法により動特性をみる。すなわち,系が定常状態 にあるところから,時間t ≧0 でq qd にステップ変化した場合のh の応答をみる。

 【例題1】1次遅れ系のステップ応答 <contr1.xls>

1槽モデルにおいて定常状態がqss=20 cm3/sで h (0)=20 cmであった。qqd =30 cm3/sにステップ変化させたときの閉ループ応答を求めよ。

 【解】式(1)中のq を定数qd とおき,h に関する微分方程式を初期条件h (0)=20 で解く。

ここではExcelシート上のオイラー法で解いてみる。式(1)を次式のように差分化する。

図のExcelシートにおいてA列に時間t [s], C列に流入流量q [cm3/s](=qd ),B4にh (0)を設定する。B5に式(1)を記述し,下にコピーすることで積分が実行される。1次遅れモデルのステップ応答は指数関数となる。

 

【例題2】2次遅れ系のステップ応答 <contr2.xls>

図1の2槽モデルで定常状態がqss=20 cm3/sで h 1(0)=h (0)=20 cmであった。第1槽のへの流入流量qqd =30 cm3/sにステップ変化させた場合の第2槽の液面高さh の応答を求めよ。

 【解】式(2)のqqd(定数)とすることで,式(2), (3)がh1, hに関する連立常微分方程式となる。

<cont2.xls>がVBAにRunge-Kutta法による微分方程式解法プログラムを記述したExcelシートである。この連載で常用しているものである。SUB 2000() 以下にパラメータの入力と2つの微分方程式を書く。シート上のE1:E4にモデルの定数,G1にqd,B1:B3に積分区間と刻み幅を記入し,シート上のボタンのクリックで積分が実行される。結果を図3中のグラフで示す。2次遅れ系のステップ応答は立ち上がり時に変曲点が現れるS字状である。

 

2.比例制御

このような動特性をもつプロセスに対してフィードバック制御系を構成し,液面高さの設定値変更について応答をみる。新たな液面の設定値(目標値)をhsetとする。制御では被制御変数h と設定値hsetとの差すなわち偏差e

をもとに操作変数q を操作する。比例制御では操作変数q を偏差e に比例させて操作する1)。(次式)
Kcを比例ゲインという。初期状態(t <0)では操作変数qss,被制御変数h (0)の定常状態にあるとして,この式を微分すると次式である。

【例題3】1次遅れ・比例制御系の応答 <contr3.xls>

1槽モデルに比例制御をおこなう系において定常状態がqss=20 cm3/sで h (0)=20 cmであった。t ≧0で新たなh の設定値hset=30を与えてh の応答を示せ。Kc =2とする。

 【解】1次遅れ系のモデル(式(1))と比例制御の基礎式( (6)式) を連立させた以下の連立常微分方程式を解く問題となる。(q の初期値はq (0)=2×(30-20)+20=40である。)

図にこれを解いたExcelシートを示す。セルG1:G3に定常値qss, 設定値hsettとKcの値を設定する。B1:B3に積分区間,刻み幅,B6:C6に変数の初期値を入れ,ボタンクリックで積分が実行される。得られたq, hの時間応答を図中のグラフに示す。比例制御では設定値hset=30に至らずに定常値になる。これがオフセットである。

 

【例題3b】2次遅れ・比例制御系の応答 <contr4.xls>

2槽モデルについて例題3と同じ応答を示せ。

【解】モデルと制御式によりh, h1, qに関する次式の連立常微分方程式となる。

解を図示したのが下図である。オフセットがある。

 

3.比例・積分制御

比例・積分制御では偏差e の積分値を計算し,これが0になるまで操作変数を変える。(次式)

TIが積分時間である。上式を微分した形式が次式である。

【例題4】1次遅れ・比例・積分制御系の応答<contr5.xls>

 1槽モデルに比例・積分制御をおこなう系において,初めの定常値h (0)=20 cm, qss=20 cm3/sから新たなh の設定値 hset =30を与えた場合のh の応答を示せ。とする。

【解】モデル(式(1))と制御式(式(10))から次式の連立常微分方程式を解く問題となる。

 

図5に示したExcelシートを用いる。パラメータKc, TIを与え,Runge-Kutta法で積分することで解が得られる。得られたq, h の時間応答を図中のグラフに示す。積分を加えることでオフセットを無くすことができる。

 

【例題5】2次遅れ・比例・積分制御系の応答 <contr6.xls>

2槽モデルの比例・積分制御系において,初めの定常値h (0)=20 cm, qss=20 cm3/sから,t ≧0で新たなh の設定値hset=30を与えた場合のh の応答を示せ。0とする。

 【解】モデル(式(2),(3))と制御式(式(10))によりh1,h, q に関する次式の連立常微分方程式を解く問題となる。

これを解いたのが,図のシートである。得られたq, h の時間応答を図中のグラフに示す。2次遅れモデルの設定値変更問題では比例・積分制御で十分な制御ができる。

 

4.比例・積分・微分制御(PID制御)

さらに制動を早めるためにおこなうのが比例・積分・微分制御(PID制御)で,操作変数が次式となる。

TDが微分時間というパラメータである。この式の微分形式は次式となる。

(注:この初期値q (0)では, としているが,hsett =0でステップ変化しているのであるから厳密には である。(実際の制御ではあるリミット値を適用する。)ここでは制御の種類毎の比較のためこのような仮定をした。)

なお,2次遅れ系ではh の2次微分は式(2), (3)から次式である。

【例題6】2次遅れ・PID制御系の応答 <contr7.xls>

2槽モデルにPID制御をおこなう系において,初めの定常値h (0)=20 cm, qss=20 cm3/sから,t ≧0で新たなh の設定値hset=30を与えた場合のh の応答を示せ。とする。

 【解】モデルと制御式(式(17))によりh1,h, qに関する次式の連立常微分方程式を解く問題となる。

これを解いたのが,図シートである。得られたq, h の時間応答を図中のグラフに示す。微分を加えることで比例・積分制御より目標値に達する時間を短くできる。

図 2次遅れ・PID制御系の応答


引用文献
1) 化学工学会編:基礎化学工学,p. 281, 培風館(1999)