ラプラス変換と制御

 非定常系の数学モデル

システムの動的特性(変数が時間tに依存する)をあらわす数学モデルを考える。制御の分野ではこれらを要素という。

【比例要素:比例関係】         

水槽から抵抗Rのバルブを通して流出する流量qは、液面高さhに比例する。

また、ばね定数がKであるばねに力fを加えると変位xは、

である。この式はばねへの入力を変位x (t ),出力をf (t )ともみることができる。一般に物理現象は比例関係がなりたつものが多いが、これを一般に、入力x (t )と出力y(t)の関係が比例要素:

であるという。

【微分要素:1次微分形式:ダンパーの数学モデル】

ダンパーはピストンが動くとき、ピストンに開いた孔中を油が流れるとき生ずる粘性抵抗により力fを発生し、ピストンの動きを抑制する緩衝機構である。ピストンにかかる力f (t)はピストンの速さv (t)に比例する。

Dをダンパーの粘性制動係数という)

ピストンの位置をx (t)とすると、だからこの式は


である。

【一次遅れ要素:関数とその1次微分の和の形式:ばねとダンパーの数学モデルとその類似システム】

次にダンパーとばねを組み合わせたシステムを考える。板が動くとき、働く力はばねは位置に比例:

し、ダンパーは速度に比例する。

これらの合計が板に働く力f (t)とつりあうので、

これがこのシステムの数学モデルである。

このモデル(微分方程式)により力fを与えることで、変位xを求めることができる。制御で言うと操作変数が外力f、被制御変数が位置xである。

以下類似システムの例を列挙する。

<質量のあるダンパー系の速度>

ダンパーにおいて可動部の質量Mを考え、その慣性力を考慮し、被制御変数を速度vとすると、

(質量Mによる慣性力)+(ダンパーの制動力)=(外力)

より、


となる。

ここで、操作変数:外力f、被制御変数:速度v

<水中の板とばねの系>

ばねを液体中の板につなげ、端を上下動させる場合である。ばね定数をkとして、ばねに働く力は k (x-y)。板による制動力は板の変位に比例するので、D (dy/dt)。両者が等しいので、

すなわち、

ここで、操作変数:ばね端位置x、被制御変数:板位置y

 

<タンク容量系の液面高さ>

断面積A、液面高さhのタンクに流量qで液体が流入し、底から流出している。流出量は液面高さhに比例しバルブの抵抗Rに反比例する。

(タンク内の液量の変化)=(流入速度)−(流出速度)

より、

すなわち、

ここで、操作変数:流入量q、被制御変数:タンク液面高さh

<流体の加熱装置>

一定容量Vの加熱槽に、熱容量Cp,密度ρの流体が一定流量Wで流入し、流出する。流体の入り口温度はθiで、槽内は完全混合として、槽内および出口流体の温度はθ0である。加熱量をq0+q(t)として、熱収支は:

(槽内に蓄積する熱)=(流入する熱)+(加熱量)−(流出する熱)

である。すなわち、

これより、次式となる。

3D_mixtank.gif (7970 バイト)

ここで、操作変数:加熱量変化q(t)、被制御変数:槽液温変化θ(t)。

 

<連続槽型反応器(CSTR)>

 

液容積V [m3]の完全混合槽にともに速度W[m3/s]で流入・流出がある。流入流れ中の成分Aの濃度がCA0[mol/m3]であり、槽内と流出流れ中の濃度がCA である。槽内では一次反応:

により成分Aが成分Cになる。成分Aについての物質収支式は次式。

(槽内での蓄積速度)=(流入)−(流出)+(生成(この場合は消費)速度)

すなわち、

これより、CAに関する微分方程式が次式となる。

ここで、操作変数:入り口濃度CA0(t)、被制御変数:出口濃度CA(t)。

 

<電気回路>

 

ここで、操作変数:入力電圧e (t)、被制御変数:電流i (t)。

 

【2次遅れ要素:関数とその1次微分および2次微分の和の形式】

「質量のあるダンパー系の速度」の系にばねを加える。力のバランスは、

(質量Mによる慣性力)+(ダンパーの制動力)+(ばねの力)=(外力)

より、

速度vを位置で書き換えると、v =dx/dtより、

ここで、操作変数:外力f、被制御変数:位置x

 

タンクが直列に2槽つながったシステムを考える。
第1槽への流入量qで第2槽の液面高さhを制御する。
これも2次遅れ要素の例であり、上と同様に2階の
常微分方程式となる。ここで、操作変数:第1槽流入量q
被制御変数:第2槽液面高さhである。(演習)

 

 

 

 

ラプラス変換と伝達関数

 

タンクの液面制御に関するモデルの微分方程式:

h (0)=0としてラプラス変換すると、より、

である。この式の右辺はタンクの液面 制御のs領域での数学モデルと言える。この式は操作変数(入力)qのラプラス変換Q (s)をこのモデルに掛けると被制御変数(出力)のラプラス変換H (s)が求まることをあらわしている。

この式をQ(s)で割り、これをG(s)とおくと、

となる。G(s)を伝達関数と呼ぶ。もしシステムの伝達関数G(s)がわかれば、入力Q(s)に対する出力H(s)は、

で求められる。右図のように枠のなかに伝達関数を書き、入力、出力を示したのがブロック線図である。

一般に複雑なシステムは要素の組み合わせであり、要素毎に伝達関数を書いてそれを組み合わせて制御系を構成する。この伝達関数の例はそのような典型的要素のひとつであり、伝達関数が一般に

であらわされる要素を「一次遅れ要素(1次遅れ系)」とよぶ。前節の関数とその1次微分の和の形式(ばねとダンパーの数学モデルとその類似システム)のモデルがこれである。

 

タンクが直列に2槽つながったシステムを考える。第1槽への流入量qで第2槽の液面高さhを制御する。

第1槽のモデル:

第2槽のモデル:

この各々のモデルをラプラス変換すると、

となる。()これをあらわす

ブロック線図は右のようである。

この2式からH1(s)を消去すると、

となる。するとこのシステムは右のように書いても

同じである。下のブロック線図は上のブロック線図の

「等価変換」となっている。

一般に伝達関数が、

であらわせる要素を「2次遅れ要素」という。この式を2次遅れ要素(系、システム)の標準形とよぶ。前節の関数とその1次微分および2次微分の和の形式のモデルがこれである。これは制御の分野でその特性が詳しく調べられている重要な伝達関数である。ここでζを減衰係数(damping gfactor), ωnを非減衰固有角周波数という。

 システムの時間応答

これらのシステム要素モデルの時間応答を考える。ここでは単位ステップ応答のみを扱う。ラプラス変換の領域で、要素の伝達関数をG(s)とすると、入力Y(s)に対する出力X(s)は次式となる。

ここで、入力Y(s)は単位ステップ関数u(t)の場合、、単位インパスル関数δ(t)の場合 である。

 【一次遅れ要素の単位ステップ応答】

微分方程式を とする。(ただしy (t)は単位ステップ関数uo(t))

これを逆変換して、

よって出力はt =Tで0.63, t =∞で1に収束する。(下図のタンクの液面の系では入力がu(t),出力がΔx(t))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【2次遅れ要素の単位ステップ応答】伝達関数を2次遅れ要素、入力をステップ変化とすると、応答は、

この解はラプラス変換法により解が得られる。減衰係数ζにより場合わけされて、解は以下のようである。

(不足制動under damping)

(臨界制動critical damping)

(過制動over damping)

これを図示する。<cn19.xls>

なお、これは一般に2階の微分方程式:

の解であり、となっている。

 


実習

タンクが直列に2槽つながったシステムは2次遅れ要素の例である。第2槽の液面高さhの時間変化をq, R1, R2, Aのパラメータにより表しなさい。2階の微分方程式となる。

第1槽のモデル:

第2槽のモデル:

これを微分して、

としてh1を消去すると次式となる。