ラプラス変換と微分方程式の解法


ラプラス変換

掛け算・割り算は対数(log)によって、足し算・引き算になった。ラプラス変換法はこれと似ており、微分・積分をラプラス変換により掛け算・割り算にするものである。これにより微分方程式を代数方程式の問題とすることができる。

関数f (t )にe-st を掛け、t について0 から無限大まで積分する。その積分はs の関数F (s )になるが、これをもとの関数f (t )のラプラス変換とよび、L (f )とあらわす。

st に無関係な変数であり、t は実変数である。逆にf (t )はF (s )の逆変換とよび、L-1(f )とあらわす。

(ここではもとの関数を小文字(f ,y )で、その変換を大文字(F ,Y )であらわす。)

【例】のラプラス変換。

部分積分して、

第2項をさらに部分積分して、

これらより、

よって、

【例】(この関数を単位階段関数とよぶ。)

a =0のときのをヘビサイド関数という。ヘビサイド(O. Heaviside, 1850-1925, 電気工学者)がラプラス変換法(演算子法)を考案した。

関数とそのラプラス変換の例

(もとの関数での1⇔t の関係からすると、ラプラス変換では微分はs を掛けること、積分はsで割ることになっている。)

【実習】ラプラス変換を表計算上で確認する

ラプラス変換の性質1:線形性

   

ラプラス変換の性質2:微分のラプラス変換

   

   

ラプラス変換の性質3:t軸上の移動

f (t )のt を(t -a)に置き換えることは、変換F (s)にe-as を掛けることに対応する。すなわち、

   

    または、

   

ラプラス変換による微分方程式の解法

ラプラス変換を使用して微分方程式の解法が容易となる。ただし、扱えるのは一般解でなく「初期値問題」における特殊解である。これは上のラプラス変換の性質2を利用することによる。その解き方の一般的手順は、

<第1ステップ>ラプラス変換により微分方程式を変数t領域から変数s領域へ移す。これを補助方程式と呼ぶ。この変換作業にラプラス変換表を用いる。

<第2ステップ>得られた補助方程式は演算子s の代数方程式であるので、代数計算により容易に解が求められる。

<第3ステップ>求めたs 関数の解を再びラプラス変換表を用いてt の関数に変換する。これをラプラス逆変換と呼ぶ。

具体的に示してみると以下のようである。

【例】2階の微分方程式の初期値問題:

を解く。

<第1ステップ>(補助方程式をつくること)

を未知関数のラプラス変換とする。微分のラプラス変換より、

これらより微分方程式について、

この未知関数yの変換Yに対する方程式をもとの微分方程式の補助方程式とよぶ。

<第2ステップ>(補助方程式を解くこと)

この補助方程式は

である。Yについて代数的に解いて、部分分数を用いると、

となる。

<第3ステップ>(逆変換をおこない微分方程式を解く)

公式より、。および、である。線形性より解は次式となる。 

 

この方法をまとめると次のようである。

 

 

【例】振動系の微分方程式の初期値問題:

を解く。

<第1ステップ>

より補助方程式は次式となる。

<第2ステップ>

すなわち、

<第3ステップ>

この式は公式そのものである。:

よって、解は である。

この問題については既に複素数を利用して解法を示した。そこでは一般解が求められたが、このように境界条件が定まった初期値問題の特殊解を求める場合には、ラプラス変換法が簡単である。

 

【例】単一方形波に対する非減衰系の応答

初期値問題:

を解く。ただし、0<t<1のときr(t)=1で、それ以外のtのときr(t)=0である。

<第1ステップ>

より補助方程式は次式となる。

<第2ステップ>

すなわち、

<第3ステップ>

逆変換公式と「t軸上の移動」より、

すなわち、

 

 

 

 

【例】((「1次遅れモデルのステップ応答」(後述)で、τp=10, Kp=10の場合)

 

<第1ステップ>(補助方程式をつくること)

を未知関数のラプラス変換とする。

よって、補助方程式は、

<第2ステップ>(補助方程式を解くこと)

この補助方程式をY について代数的に解く。部分分数を用いると、

となる。

<第3ステップ>(逆変換をおこない微分方程式を解く)

ラプラス変換表より、である。線形性より解は次式となる。 

 【例】「2次遅れモデルのステップ応答」(後述)

より、補助方程式が次式。

 

Y について解くと、

 逆変換公式:

より、解が次式となる。