方程式を解く−非線形方程式−

 連立非線形方程式の数値解法

n変数の連立非線形方程式

を解くことは,f(x)0となるx=(x1,x2,・・・・xn)T を求めることである。
 一変数の非線形方程式 f(x)=0 の解法であるNewton-Raphson法:
xk+1=xk-  f(xk)/f'(xk) (k=0,1,2・・・・)

n 元連立非線形方程式に対し拡張できる。この疑似Newton法による非線形連立方程式解法の計算手順は以下のようである。
1 (プログラム350-370) 適当な初期ベクトル x(0)を与える。k=0,1,2・・・・に対し以下を反復計算する。
2 (プログラム380-390) f(x(k))の値を計算する。各ベクトルの値は0でない。
3 (プログラム30-440,サブルーチン3000)fi /∂xj  を前進差分で近似して求める。

これをJacobi(ヤコビ)行列と呼ぶ。
4 (プログラム450-550,サブルーチン1000,2000) 次の連立1次方程式をGaussの消去法で解き,解Δx(k)を求める。
              J(x(k))Δx(k) = -f(x(k))
5 (プログラム590-650) x(k+1) = x(k) +Δx(k) とおく。
6 (プログラム660-670) Δx(k)が収束判定値εより小さいならx(k+1)を方程式f(x)=0の解として計算を終了する。そうでないならx(k+1)を新しい近似値として2に戻る。

BASICによる連立非線形方程式解法プログラム
100 '==連立非線形方程式解法プログラム=====(プログラムの大きさ3.2K)
110 ' Pseudo Newton's Method
120 ' by スノウチ ハルオ " パソコンニヨルスウチケイサン ",p.144,サイエンスシャ
210 READ NN
220 DIM ZA(NN, NN), ZB(NN), ZX(NN), ZY(NN), NG(NN)
230 DIM F(NN), ZF1(NN), ZX1(NN), X(NN)
240 '-----------------
280 FOR NI = 1 TO NN: READ ZX1(NI): NEXT
300 NL1 = 100
310 ZE = .00001             (これは1変数非線型方程式の解法のNewton-Raphson
320 ZD = .001        法をn変数に拡張したものである
330 '----------------    3080行でJacobi行列を前進差分近似で求めている
340 FOR NL = 1 TO NL1    したがって,初期値がある程度近くないと収束しな
350 FOR NI = 1 TO NN     いことに注意。またNewton法同様expに弱い。)
360   X(NI) = ZX1(NI)  近似解を代入
370 NEXT NI
380 '----------------
390 GOSUB 4000
400 FOR NI = 1 TO NN
410   ZF1(NI) = F(NI)
420 NEXT NI
430 '----------------
440 GOSUB 3000
450 '----------------連立一次方程式をGaussの消去法で解く
470 FOR NI = 1 TO NN
480   NG(NI) = NI
490 NEXT NI
500 GOSUB 1000
510 '----------------
520 FOR NI = 1 TO NN
530   NJ = NG(NI): ZB(NI) = -ZF1(NJ)
540 NEXT NI
550 GOSUB 2000
560 '----------------
580 PRINT "ハンプク カイスウ "; NL
590 NC = 0
600 FOR NI = 1 TO NN
610   ZW = X(NI)
620   ZX1(NI) = ZX1(NI) + ZW

630   IF ABS(ZW) < ZE OR ABS(ZW) < ZE * ABS(ZX1(NI)) THEN NC = NC + 1
640 PRINT "X("; NI; ")="; ZX1(NI)
650 NEXT NI
660 '----------------
670  IF NC = NN THEN 730
680 NEXT NL
690 '----------------
700 BEEP: PRINT "ハンプク="; NL1; "デ シュウソクシナイ"
710 GOTO 770
720 '----------------
730 PRINT "*****ホウテイシキ ノ カイ*****"
740 FOR NI = 1 TO NN
750 PRINT "    X("; NI; ")= "; ZX1(NI)
760 NEXT NI
770 END
1000 '---------------
1010 '---------------
1020 FOR NK = 1 TO NN - 1
1030   '-------------
1040   ZW = ABS(ZA(NK, NK)): NK1 = NK
1050   FOR NI = NK + 1 TO NN
1060     ZW1 = ABS(ZA(NI, NK))
1070     IF ZW1 < ZW THEN 1090
1080     ZW = ZW1: NK1 = NI
1090   NEXT NI
1100   '-------------
1110   IF NK = NK1 THEN 1160
1120   FOR NJ = 1 TO NN
1130     ZW = ZA(NK, NJ): ZA(NK, NJ) = ZA(NK1, NJ): ZA(NK1, NJ) = ZW
1140   NEXT NJ
1150   NI1 = NG(NK): NG(NK) = NG(NK1): NG(NK1) = NI1
1160   '-------------
1170   ZW = ZA(NK, NK)
1180   FOR NI = NK + 1 TO NN
1190     ZA(NI, NK) = ZA(NI, NK) / ZW
1200     FOR NJ = NK + 1 TO NN
1210     ZA(NI, NJ) = ZA(NI, NJ) - ZA(NI, NK) * ZA(NK, NJ)
1220     NEXT NJ
1230   NEXT NI
1240 NEXT NK
1250 RETURN
2000 '-------SOLVE
2010 '---------------
2020 ZY(1) = ZB(1)
2030 FOR NI = 2 TO NN
2040   ZW = ZB(NI)
2050   FOR NK = 1 TO NI - 1
2060    ZW = ZW - ZA(NI, NK) * ZY(NK)
2070   NEXT NK
2080   ZY(NI) = ZW
2090 NEXT NI
2100 '----------------
2110 X(NN) = ZY(NN) / ZA(NN, NN)
2120 FOR NI = NN - 1 TO 1 STEP -1
2130   ZW = ZY(NI)
2140   FOR NK = NI + 1 TO NN
2150    ZW = ZW - ZA(NI, NK) * X(NK)
2160   NEXT NK
2170   X(NI) = ZW / ZA(NI, NI)
2180 NEXT NI
2190 RETURN
3000 '----------------Jacobi行列の計算
3010 '----------------
3020 FOR NJ = 1 TO NN
3030   IF NJ <> 1 THEN X(NJ - 1) = ZX1(NJ - 1)
3040   X(NJ) = X(NJ) + ZD
3050   '--------------
3060   GOSUB 4000
3070   FOR NI = 1 TO NN
3080    ZA(NI, NJ) = (F(NI) - ZF1(NI)) / ZD
3090   NEXT NI
3100 NEXT NJ
3110 RETURN
4000 '**** ホウテイシキ 関数値ベクトルf(x)の計算
4005 '
4010 '(Z,N ノツクヘンスウハツカワナイ )(F(1)=,F(2)=...
              の右辺に
4020 '--ミチスウ ノ カズ X()  f1(x1,x2,...)=0
4030 DATA 4              f2(x1,x2,...)=0
4040 '--ショキチ X(1),X(2)...    .....
4051  DATA 350,12,5,30     fn(x1,x2,...)=0
4060 '--レンリツ ホウテイシキ    の左辺を書く)
4100 F(1) = X(3) + 3 * X(4) - 90
4110 F(2) =X(3)+X(1)-(90 +X(1)) * (1-0.??)
                        一回通過転化率↑
4120 F(3) = X(1) - X(3) * X(2) / 1
4130 F(4) = 90*(1-0.??)-X(3)
                   ↑総括収率
4220 RETURN

 

表計算の機能「ソルバー」による連立非線形方程式の解法

表計算の機能「ソルバー」は変数が複数の連立非線形方程式を解くための道具である。しかし収束させる値はひとつなので使い方に工夫が必要である。普通は「連立方程式の残差二乗和を最小にする」という条件により計算させる。 (pr07.xls)

【例題】(化学工学基礎のリサイクル−パージ問題より)
石炭の水蒸気存在下の部分酸化によって生成した COとH2を洗浄したあと燐酸触媒反応器に送り,メタノール合成反応:       CO+2H2→CH3OH
をおこなう。原料ガスはCO,H2が量論比の組成(1:2)で供給される。反応器におけるCOの一回通過転化率は18%である。および総括収率 K=0.95 の条件でプロセス中の各流量を計算する。

【解】      

上図のように各流量を未知数1234とする。以下のように物質収支式をつくる。
@系全体の収支 
A反応器まわりり収支  (原料)x( 1-(一回通過転化率)) =(未反応物):
B制約条件1 : リサイクル流れとパージ流れは組成が同じ:
C制約条件2 総括収率K=0.95:

この連立方程式はBの条件で非線形となっている。以下のように表計算により解く。(pr07.xls)

 

化学工学における図式解法と非線形連立方程式

精留塔(物質収支と平衡による非線形連立方程式)

実際の蒸留塔の濃縮部を模した4段の段塔により蒸留をおこなう.原料は流量V,濃度 zFの蒸気として塔底部に供給される.これを還流比 Rで精留をおこない,流量D,濃度 xDの留出液を得る.この装置は回分式であるため,実際には留出液の抜き出しで zFは変化するが,ここでは zF一定の定常状態にあるとして解析する.

蒸気流量V[mol/s],液流量L[mol/s]は一定と仮定する.全体の物質収支よりV=D+L, および  zFV=DxD+Lx4が成立する.還流比(Reflux ratio)RR=L/Dで定義する.8個の未知数  xD,x1,y2,x2,y3,x3,y4,x4についての方程式は以下の8個である.

@全体の物質収支:            
A塔頂から各段の下までの物質収支:


(式(2)〜(3)はy
n+1xnの関係を与え,x-y座標上では直線となる.これが操作線である.)
B各段を去る気液が平衡にあるという条件すなわち理論段の仮定より各段で次式が成立する.           
 
 (α=3とする)

【実習】以上の連立方程式をゴールシークで解く。図式解法と比較する。(ex_dis4.xls)

多重効用蒸発(物質収支と熱収支による非線形連立方程式)

3重効用蒸発缶(順流)を用いてF=  303K,F=0.05重量分率,のある水溶液 = 3.0 kg/s を xW = 0.5 重量分率まで濃縮する。各缶の伝熱面積 は等しく[m2] 、および総括伝熱係数は各々,1=2600, 2=2100, 3=1400 W/(m2・K) であり,蒸発潜熱,熱容量も温度依存性を無視して各々=2.3×106J/kg,cp=4.2×103J /(kg・K) とする。B3=325K,s= 403Kとして伝熱面積[m2],温度B1,B2,各缶の蒸発量1[kg/s],2,3,供給蒸気量S を求めよ。

解)<全物質収支> - = 1 + 2 + 3
<溶質収支>    
F = W
上式より, 
1+2+3 = ( 1 -F/W )F               (1)
<蒸発潜熱に関する熱収支>
第1缶:  rV
S = rV1 + Fcp(B1-F)              (2)
第2缶:  rV
1 = rV2 + (-1)p(B2-B1)       (3)
第3缶:  rV
2 = rV3 + (-1-2)p(B3-B2)   (4)
<各缶の伝熱速度>
第1缶:  1(
s -B1) = rVS                      (5)
第2缶:  2(
B1-B2) = rV1                      (6)
第3缶:  3(B2-B3) = rV2                      (7)
  以上の7つ未知数による連立方程式を解く。すなわち以下の式の残差を零にする。

f(1)=(1-xF/xW)*F-(V1+V2+V3)
f(2)=r*V1+F*cp*(TB1-TF)
f(3)=r*V2+(F-V1)*cp*(TB2-TB1)-r*V1
f(4)=r*V3+(F-V1-V2)*cp*(TB3-TB2)
f(5)=r*Vs-U1*A*(Ts-TB1)
f(6)=r*V1-U2*A*(TB1-TB2)
f(7)=r*V2-U3*A*(TB2-TB3)

nleqs.xls